Potenser med rationella tal i exponenten
Potens med rationella exponentPotenser
Potenser kallas allmänt då man beräknar till “upphöjt till“. Potenser samt potenslagarna existerar många användbara sätt för att uttrycka matematik likt annars skulle bli många besvärlig för att studera samt nedteckna. Man förmå yttra för att potenser existerar på grund av multiplikationen, vad multiplikationen existerar till additionen.
detta önskar yttra, multiplikation förmå ses liksom upprepad addition, samt vid identisk sätt kunna potensräkning ses såsom enstaka förkortning till upprepad multiplikation. inom fysiken förekommer detta ofta vid bas från för att detta existerar extrema storleksskillnader mellan volymen vid en äpple samt enstaka planet. inom matematiken brukar oss ej blanda äpplen samt planeter, dock oss behöver ändå ofta räkna tillsammans stora anförande, samt stora multiplikationer, vilket snabbt blir många otympligt ifall man ej kontrollerar eller är skicklig i potensräkning.
Tidigare besitter oss vilket hastigast stött vid begreppet potenser, då oss lärde oss angående räkneordning.
Regeln för potenser med rationella exponenter ger att $a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$ a 1 n = n √ ainom detta på denna plats avsnittet bör oss vandra igenom begreppet potenser samt dem räknelagar liksom oss använder då oss beräknar tillsammans potenser.
Potens, bas samt exponent
Ibland är kapabel man äga matematiska formulering var man upprepar identisk matematiska räkneoperationer flera gånger ifall.
inom sådana lägen är kapabel detta existera utmärkt för att behärska nedteckna detta vid en mer kompakt sätt, samtidigt vilket betydelsen från formulering bevaras.
Till modell är kapabel man titta multiplikation såsom en mer kompakt sätt för att uttrycka upprepad addition.
$$5+5+5+5$$
kan oss ju istället notera som
$$5\cdot 4$$
vilket existerar enklare.
Det finns enstaka liknande genväg då detta gäller multiplikation:
$$5\cdot 5\cdot 5\cdot 5$$
kan oss istället nedteckna som
$$5^4$$
vilket utläses såsom "fem upphöjt mot fyra" samt betyder just talet \(5\) gånger sig självt fyra gånger.
vid datorer samt miniräknare används tecknet ^ på grund av för att företräda potenser: \(5\)^\(4\).
Ett anförande skrivet vid den denna plats formen kallas på grund av en potens. inom uttrycket \(5^4\) kallas siffran \(5\) på grund av bas samt siffran \(4\) till exponent.
$$bas^{exponent}=potens$$
Det finns en antal potenslagar liksom existerar god för att komma minnas samt såsom talar angående till oss hur oss bör räkna tillsammans med potenser.
Multiplikation från potenser tillsammans identisk bas
Om oss besitter numeriskt värde potenser tillsammans med identisk bas samt bör multiplicera dessa potenser, då förmå oss nedteckna detta liksom inom nästa exempel:
$$ \\ {5}^{{}^{2}}\cdot {5}^{{}^{4}}=(5\cdot 5)\cdot (5\cdot 5\cdot 5\cdot 5)=5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5={5}^{{}^{6}}$$
Detta är kapabel även skrivas
$${5}^{{}^{2}}\cdot {5}^{{}^{4}}={5}^{{}^{2+4}}={5}^{{}^{6}}$$
Eftersom till något anförande, likt oss kallar a, gäller alltså att
$$a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a=a^6$$
Vilket uttrycks allmänt som
$$ a^{x}\cdot a^{y}=a^{x+y}$$
I mening säger oss för att nära multiplikation från potenser adderas exponenterna ifall potenserna äger gemensam bas.
Division från potenser tillsammans identisk bas
På motsvarande sätt såsom nära multiplikation från potenser tillsammans identisk bas, är kapabel man nedteckna ett division från numeriskt värde potenser tillsammans med identisk bas liksom inom nästa exempel:
$$\frac{{3}^{{}^{6}}}{{3}^{{}^{3}}}=\frac{3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3}{3\cdot 3\cdot 3}=\frac{3\cdot 3\cdot 3}{1}={3}^{{}^{3}} $$
Man är kapabel även nedteckna detta som
$$ \frac{{3}^{{}^{6}}}{{3}^{{}^{3}}}={3}^{{}^{}}={3}^{{}^{3}} $$
och allmänt som
$$ \frac{a^x}{a^y} = a^{x-y}$$
$$\text{där}\;a \neq 0 $$
I mening säger oss för att nära division från potenser subtraheras exponenterna ifall potenserna äger gemensam bas.
Potens från ett potens
Har oss en potensuttryck samt bör beräkna potensen från detta, då får oss enstaka uppställning liksom förmå titta ut likt inom detta på denna plats exemplet:
$$ (11^3)^4=11^3\cdot 11^3\cdot 11^3\cdot 11^3$$
Om oss tillämpar regeln ifall multiplikation från potenser tillsammans identisk bas, såsom oss kom fram mot tidigare inom detta på denna plats avsnittet, upprepade gånger, då får vi
$$ 11^3 \cdot 11^3\cdot 11^3\cdot 11^3=11^{3+3+3+3}=11^{12}$$
Vi vet att
$$3+3+3+3=3\cdot4=12$$
Därför gäller
$$ (11^3)^4=11^{3\cdot \, 4}=11^{12} $$
Allmänt blir detta
$$ (a^x)^y = a^{x \cdot \, y}$$
Potens från ett produkt
Vi är kapabel även äga potensuttryck liksom besitter mer komplicerade baser.
Anta mot modell för att basen utgörs från ett vara, sålunda här
$$(5x)^2$$
där \(x\) existerar något okänt tal.
Hur utför man då?
Eftersom både \(5\):an samt \(x\):et existerar upphöjt mot \(2\) kunna oss istället notera uttrycket som
$$(5x)^2=(5x)\cdot(5x)=5^2\cdot x^2=25x^2$$
Allmänt gäller att
$${(a\cdot b)}^{x}={a}^{x}\cdot {b}^{x}$$
Potens från enstaka kvot
På en liknande sätt likt inom fallet ovan, var basen inom enstaka potens utgjordes från ett vara, kunna man beräkna enstaka potens från ett kvot.
inom dessa fall kunna oss äga en potensuttryck liknande nästa exempel:
$$\left ( \frac{2x}{3} \right ) ^3$$
Här utgörs potensens bas från kvoten \(\frac{2x}{3}\), medan potensens exponent existerar lika tillsammans med 3.
Denna potens är kapabel oss, tillsammans med hjälp från regeln till multiplikation från bråktal, nedteckna angående som
$$\left ( \frac{2x}{3} \right )^3= \frac{2x}3 \cdot \frac{2x}3 \cdot \frac{2x}3= \frac{(2x)^3}{3^3}$$
Vi kunna gå vidare för att förenkla uttrycket, dock nöjer oss sålunda på denna plats samt konstaterar för att oss är kapabel nedteckna ifall enstaka potens från ett kvot i enlighet med nästa generella team (så länge \(b ≠ 0\)):
$$\left ( \frac{a}{b} \right )^x=\frac{a^x}{b^x}$$
Potenser tillsammans med negativa exponenter
Om oss äger bråket
$$ \frac{{4}^{{}^{2}}}{{4}^{{}^{4}}}$$
och önskar förenkla detta, får oss genom regeln på grund av division från potenser tillsammans gemensam bas att
$$ \frac{{4}^{{}^{2}}}{{4}^{{}^{4}}}={4}^{{}^{}}={4}^{{}^{-2}}$$
Vi kunna även titta detta som
$$\frac{{4}^{{}^{2}}}{{4}^{{}^{4}}}=\frac{4\cdot 4}{4\cdot 4\cdot 4\cdot 4}=\frac{1}{4\cdot 4}=\frac{1}{{4}^{{}^{2}}} $$
Det på denna plats innebär för att nästa samband gäller:
$${4}^{{}^{-2}}=\frac{1}{4\cdot 4}=\frac{1}{{4}^{{}^{2}}} $$
I detta allmänna fallet förmå oss notera detta som
$$a^{-x}=\frac{1}{a^x}$$
där \(a ≠ 0\).
Potenser tillsammans med exponenten noll
Vi vet att
$$ \frac{{5}^{{}^{3}}}{{5}^{{}^{3}}}={5}^{{}^{}}={5}^{{}^{0}} $$
Men oss vet även att
$$ \frac{{5}^{{}^{3}}}{{5}^{{}^{3}}}=1$$
Alltså måste detta innebära att
$$ {5}^{{}^{0}}=1$$
Allmänt blir detta
$$ {a}^{0}=1$$
$$a\neq 0$$
och tillsammans med mening för att ifall exponenten existerar noll existerar potensen lika tillsammans med \(1\).
Potenslagar
Nu besitter oss gått igenom en antal generella regler likt gäller då oss beräknar tillsammans med potenser, vad oss kallar potenslagarna.
Låt oss summera vad oss kommit fram mot hittills:
Räkneordning tillsammans potenser
Som oss nämnde inom start från detta denna plats kapitlet, påverkas räkneordningen av ifall en formulering innehåller potenser.
Prioriteringsreglerna (räkneordningen) tillsammans med potenser inkluderade, lyder nu:
- Parenteser
- Potenser
- Multiplikation samt division
- Addition samt subtraktion
Har oss mot modell nästa uttryck
$$2 \cdot (^3)+\frac{4}{2}$$
så kalkylerar oss inledningsvis uttrycket inom parentesen, sedan potenser, därefter multiplikation samt division, samt senaste addition samt subtraktion.
Att beräkna ett parentes innebär för att oss tillämpar räkneordningen vid parentesuttrycket separat:
$$(^3)=()=(-5)$$
När oss idag existerar klara tillsammans för att beräkna uttrycket inom parentesen, ser oss för att detta återstående uttrycket ej innehåller några fler parenteser samt ej heller några potenser, således oss tar oss an multiplikation samt division härnäst:
$$2\cdot (-5) +\frac{4}{2}=()+2$$
I sista steget genomför oss den återstående additionen samt får
$$+2=-8$$