En egyptisk triangel är en rätvinklig

Den på denna plats artikeln besitter källhänvisningar, dock eftersom detta saknas fotnoter existerar detta svårt för att att fatta beslut eller bestämma något vilken arbetsuppgift liksom existerar hämtad plats. () Hjälp gärna mot tillsammans för att redigera artikeln, alternativt diskutera saken vid diskussionssidan. En egyptisk triangel är rätvinklig enligt Pythagoras sats eftersom (3k) 2 + (4k) 2 = 9k 2 + 16k 2 = 25k 2 = (5k) 2 Dock är INTE triangeln med sidor 5, 12, 13 egyptisk

Pythagoras sats existerar enstaka från matematikens maximalt kända satser. i enlighet med Pythagoras sats sålunda gäller på grund av enstaka rätvinklig triangels sidor för att

Kvadraten vid hypotenusan existerar lika tillsammans med summan från kvadraterna vid kateterna.

Hypotenusan existerar den längsta sidan inom ett rätvinklig triangel samt existerar motstående blad mot den räta vinkeln.

Katet existerar benämningen vid fanns samt enstaka från dem numeriskt värde sidor vilka bildar den räta vinkeln.

Sambandet inom Pythagoras sats kunna tecknas likt Pythagoras ekvation:

där a, b samt c existerar sidornas längder på grund av enstaka rätvinklig triangel samt c existerar hypotenusans längd.

Satsens namn kommer ifrån den grekiske matematikern Pythagoras ( – ) likt brukar tillskrivas detta inledande beviset på grund av satsen, dock satsen plats troligen redan tidigare känd inom Babylonien.

Cosinussatsen

[redigera | redigera wikitext]

Pythagoras sats kunna ses såsom en specialfall från cosinussatsen, vilken gäller till samtliga trianglar.

De två kateterna möts i en rät vinkel (alltså \(90°\)) och hypotenusan är motstående till den räta vinkeln

Låt a, b samt c artikel sidolängderna hos ett triangel samt låt θ artikel vinkeln mellan numeriskt värde från sidorna, a samt b. Sambandet mellan triangelns sidor samt vinkeln existerar då

Om vinkeln θ existerar lika tillsammans 90 grader existerar cos θ = 0 samt Pythagoras sats följer.

Egyptiska trianglar samt pythagoreiska tripler

[redigera | redigera wikitext]

En egyptisk triangel existerar ett rätvinklig triangel vars sidolängder förhåller sig mot varandra likt talen 3, 4 samt 5. på grund av ett sådan triangel kunna sidorna betecknas tillsammans med 3n, 4n samt 5n, var n existerar en positivt heltal.

i enlighet med Pythagoras sats gäller då för att

vilket visar för att satsen gäller på grund av samtliga egyptiska trianglar.

Tre positiva heltal, a, b samt c, kallas på grund av enstaka pythagoreisk trippel (a,b,c), angående a² + b² = c².

i enlighet med enstaka formel angiven från Euklides förmå talen inom ett pythagoreisk trippel bildas tillsammans hjälp från uttrycken m² - n², 2mn samt m² + n², var m samt n existerar positiva heltal samt m > n i enlighet med

där k existerar en positivt heltal.

Exempel vid pythagoreiska tripler liksom ej svarar mot egyptiska trianglar existerar triplerna (5, 12, 13), (8, 15, 17) samt (7, 24, 25).

av Mattecentrum är licensierad under en Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivatives Internationell-licens

Av effekt ovan följer även för att detta finns lika flera pythagoreiska tripler likt detta finns positiva heltal.

Bevis till Pythagoras sats

[redigera | redigera wikitext]

Det finns enstaka litteratur från E.S. Loomis tillsammans den engelska titeln The Pythagorean Proposition såsom innehåller olika bevis till Pythagoras sats.

Nedanstående foto visar enstaka kvadrat vars blad äger längden a + b. Pythagoras sats kunna bevisas genom för att kvadraten delas inom numeriskt värde olika pussel (inom matematiken kallas detta för att partitionera kvadraten vid numeriskt värde olika sätt).

Matteboken är en gratistjänst från Mattecentrum, en ideell förening som hjälper barn och ungdomar förbättra sina kunskaper i matematik

Beviset består inom för att notera för att dem numeriskt värde pusslen båda innehåller identisk blå triangel, identisk röda triangel, identisk gröna triangel samt identisk gula triangel; dem numeriskt värde rosa kvadraterna inom detta vänstra pusslet måste då tillsammans äga identisk area såsom den rosa kvadraten inom detta högra pusslet.

Alltså existerar

Pythagoras sats inom inre produktrum

[redigera | redigera wikitext]

Inom linjär algebra är kapabel Pythagoras sats generaliseras mot trianglar inom inre produktrum från godtycklig dimensionalitet. en inre produktrum existerar en vektorrum liksom besitter ett inre produkt; Den inre produkten mäter 'vinklar' mellan vektorrummets element.

en inre produktrum existerar även en normerat utrymme, vars norm existerar given från den inre produkten:

Normen mäter 'längden' hos vektorrummets element.

Om u samt v existerar numeriskt värde vektorer inom en inre produktrum, V, sålunda existerar deras summa även en element inom identisk rum:

Vektorerna u, v samt u + v bildar tillsammans ett 'triangel' inom vektorrummet V; Triangelns 'längsta' blad existerar

och dem 'kortaste' sidorna existerar

Sambandet mellan normen samt den inre produkten låter oss uttrycka normen från summan u + v i enlighet med

Med hjälp från sambanden ovan erhålls en bevis på grund av Pythagoras sats:

då den inre produkten från numeriskt värde ortogonala vektorer existerar noll.

Detta kunna även formuleras liksom

Vektorerna u samt v existerar ortogonala ifall, samt endast ifall, normerna från vektorerna u, v samt u + v existerar relaterade i enlighet med Pythagoras samband:

Se även

[redigera | redigera wikitext]

Källor

[redigera | redigera wikitext]

• Morris Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Oxford University Press, New York

Externa länkar

[redigera | redigera wikitext]