Varför väljer man en logaritmisk kurva
Logaritmiska skalor används ofta när storheten kan variera över många tiopotenserLogaritm
Logaritmen existerar inom matematiken den inversa funktionen mot exponentiering. Logaritmen till en anförande a existerar den exponentx mot vilket en självklart anförande, tillsammans basenb, måste upphöjas till för att anta värdet a:
Logaritmer är kapabel existera en redskap för hjälp, inom synnerhet nära manuella beräkningar tillsammans stora antal från anförande, genom för att multiplikationer samt divisioner förmå omvandlas mot additioner respektive subtraktioner.
Logaritmernas uppfinnare anses artikel skotten John efternamn (talet).
Reell logaritm
[redigera | redigera wikitext]För reella anförande måste gälla för att a > 0 samt b > 0 på grund av för att logaritmen bör behärska beräknas. Logaritmen x kunna anta slumpmässiga värden.
inom uttrycket a&#;=&#;bx kallas x logaritmen från a inom basen b samt skrivs
- , alternativt , &#;&#;&#; var alltså samt
Binär logaritm - tvålogaritm
[redigera | redigera wikitext]Om förmå även skrivningen lb a inträffa (b:et står till binär")[1] samt även skrivningen ld a förekommer (speciellt inom tyskspråkig litteratur[2] - "ld" står till latinlogarithmus dualis[3]).
inom viss amerikansk litteratur används lg a på grund av tvålogaritmer, vilket ej rekommenderas eftersom denna betckning existerar standard på grund av tiologaritmer inom exempelvis svensk- alternativt tyskspråkig litteratur.[2]
Tiologaritm alternativt briggsk logaritm
[redigera | redigera wikitext]Ett praktiskt omröstning från logaritmbas nära användning från den decimala notationen existerar den briggska logaritmen (logaritmen utvecklad från Henry Briggs).
Den briggska logaritmen till en anförande a existerar den exponent x mot vilken 10 skall upphöjas på grund av för att forma talet a:
Andra beteckningssätt på grund av log10a existerar 10log a samt log a.
Naturlig logaritm (logarithmus naturalis)
[redigera | redigera wikitext]Detta del existerar enstaka beskrivning från Naturliga logaritmen.
En speciell bas existerar e (Eulers tal).
Beteckningen till loge&#;a, den naturliga logaritmen från a, existerar ln&#;a.
Detta ger sambanden
En betydande anledning mot för att denna logaritm används existerar för att den existerar den inversa funktionen mot exponentialfunktionen ex.
En intressant egenskap hos den naturliga logaritmfunktionen existerar för att dess derivata existerar 1/x, vilket fullfölja för att den fyller år ut ett lucka bland dem primitiva funktionerna mot potensfunktioner:
n = -1 leder mot division tillsammans noll, vilket existerar otillåtet.
En intressant egenskap hos den naturliga logaritmfunktionen är att dess derivata är 1/x, vilket gör att den fyller ut en lucka bland de primitiva funktionerna till potensfunktionerpå grund av varenda anförande nära -1 kommer "första primitiva funktionen" för att artikel godtyckligt nära ln&#;x. Därför förmå logaritmen ses såsom ett kontinuerlig utvidgning från polynomen, en faktum såsom även förmå motiveras genom för att betrakta vissa speciella gränsfall från interpolationspolynomen (kanske enklast via Newtons interpolationspolynom).
Se även definitionen från talet e.
Komplex logaritm
[redigera | redigera wikitext]Den flervärda komplexa logaritmen log definieras såsom urbilden mot exponentialfunktionen, detta önskar yttra
Vilket även kunna uttryckas liksom
där + innebär addition från vektormängder samt vred existerar argumentsfunktionen.
Den komplexa logaritmen möter dem flesta räkneregler på grund av den reella logaritmen; bekymmer kunna uppstå ifall exempelvis summan från numeriskt värde argument hamnar utanför grenen. Man kunna analysera ett kvist från logaritmen, liksom då blir ett envärd funktion.
Exempel på logaritmiska skalor är decibel-skalan och Richterskalantill principalgrenen Log används principalgrenen från argumentsfunktionen, dvs
- .
Diskret logaritm
[redigera | redigera wikitext]På identisk sätt likt ovan är kapabel man definiera enstaka logaritm inom ett godtycklig ändlig lekamen. detta existerar då en väldefinierat term eftersom ett lekamen beneath multiplikation (andra kompositionsoperatorn) existerar isomorf tillsammans med enstaka cyklisk delgrupp.
vilket bas till logaritmen väljer man enstaka elektrisk maskin till denna cykliska lag. Utvidgningen existerar helt motsvarande tillsammans med reella logaritmer.
Vi går igenom logaritmlagarna och tittar på hur vi hanterar exponentialekvationer med olika baserSkillnaden mellan reella logaritmer samt diskreta logaritmer existerar för att den diskreta logaritmen ständigt blir en heltal. inom övrigt äger diskreta samt reella logaritmen likartade lagar samt följer ungefärligen identisk teori.
Till skillnad ifrån vanliga (reella) logaritmer existerar detta allmänt sett svårt för att hitta logaritmen på grund av en självklart anförande.
Man kallar detta diskreta logaritmproblemet. Faktum existerar för att detta existerar således svårt, för att man använder denna något som är svårt att hantera eller övervinna på grund av för att konstruera trygg kryptering.
ax = b ⇔ x = loga(b)Poängen existerar för att detta existerar enkel för att kontrollera ett föreslagen logaritm, dock svårt för att hitta den. Metoden påminner ifall hur man inom krypteringsalgoritmer utnyttjar problemet tillsammans med hitta primtalsfaktorisering från stora anförande.
Integrallogaritm
[redigera | redigera wikitext]Med ett integrallogaritm, alternativt logaritmisk integral, avses enstaka funktion, betecknad tillsammans med li(x), vid formen:[4]
- på grund av
och
- på grund av
Funktionen besitter ett singularitet nära eftersom .
Derivata
[redigera | redigera wikitext]Derivatan från enstaka logaritmfunktion
är
Speciellt existerar
Identiteter
[redigera | redigera wikitext]Exempel
[redigera | redigera wikitext]Logaritmernas främsta ursprungliga nytta plats för att ersätta långa sekvenser från multiplikationer tillsammans med mindre tidskrävande sekvenser från additioner.
Antag för att produkten &#;·&#; skall beräknas utan bruk från multiplikation. i enlighet med logaritmlagarna existerar summan från faktorernas logaritmer lika tillsammans logaritmen till produkten:
Med hjälp från enstaka tabell går detta för att avgöra vilket anförande vilket besitter logaritmen
Exempel (reella logaritmen)
[redigera | redigera wikitext]Logaritmerna är kapabel användas till för att åtgärda vissa ekvationer.
En viktig anledning till att denna logaritm används är att den är den inversa funktionen till exponentialfunktionen e xAntag för att ekvationen
skall lösning tillsammans hjälp från logaritmer. forma logaritmen från båda sidor:
Utnyttja ett från logaritmlagarna:
Beräkna värdet från x vid miniräknaren:
Exempel (diskreta logaritmen)
[redigera | redigera wikitext]Det går för att nyttja diskreta logaritmer till för att åtgärda ekvationer inom slumpmässiga kroppar.
denna plats framträda hur man bestämmer diskreta logaritmer inom ett given lekamen.
I exemplet kommer oss för att betrakta galoiskroppen från ordning 27, GF(33). Den produceras från en kubiskt irreducibelt polynom ovan ℤ3 via Kroneckers konstruktion. en sådant irreducibelt polynom existerar x3 + 2x + 1 vilket inses genom för att manuellt undersöka dem tänkbara rötterna.
Därmed besitter oss enstaka lekamen
med 27 element liksom kommer för att artikel isomorf tillsammans GF(27). inom den går detta för tillfället för att beräkna diskreta logaritmer.
Låt oss denna plats återge stegen oss tagit lite mer detaljerat. oss besitter hittat en irreducibelt polynom ovan ℤ3.
a x = b ⇔ x = log a (b)Då kommer
att bli ett lekamen, vilket produceras från en principalt ideal.
Detta förklaras genom för att ℤ3 existerar ett lekamen samt därför existerar varenda ideal inom ℤ3[x] principalt samt genom för att polynomet x3 + 2x + 1 existerar irreducibelt.
Därför existerar < x3 + 2x + 1 > en maximalt ideal. samt därför existerar kvotringen
inte bara enstaka kvotring, utan enstaka lekamen.
Låt oss ta reda vid vad elementet/sidoklassenx2 + 1 besitter liksom diskret logaritm. Genom för att successivt beräkna potenser xn var fås för att inledande gången xn = x2 + 1 existerar då n&#;=&#;
Därför existerar logx(x2 + 1) = Notera för att detta plats nödvändigt för att vandra igenom en stort antal exponenter n = 0, 1, … på grund av för att hitta den oss sökte.
detta finns förbättrad algoritmer till för att hitta diskreta logaritmen. dock även tillsammans dessa existerar detta allmänt sett enstaka tidsödande process, eftersom man kunna konstruera kroppar från många upphöjd ordning.
Antilogaritm
[redigera | redigera wikitext]Antilogaritmen existerar en annat namn på grund av potens.
Även angående termen visserligen används existerar detta en ej helt lyckat bruk, eftersom potens existerar konventionen.